Concepto de Límite. Definición del número e.

 En análisis real y complejo, el concepto de límite es la clave de toque que formaliza la noción intuitiva de aproximación hacia un punto concreto de una sucesión o una función, a medida que los parámetros de esa sucesión o función se acercan a un determinado valor. 

Medición del radio de la Tierra por Eratóstenes.

 Medición del radio de la Tierra por Eratóstenes.

Trigonometría, explicación razones trigonométricas.

 El primer paso que se hace necesario dar antes de entrar a establecer el significado del término razones trigonométricas es determinar el origen etimológico de las dos palabras que le dan forma: 

-Razones deriva del latín, de “ratio”, que es sinónimo de “razón”.

-Trigonométrico, por su parte, tiene un origen griego. Significa “relativo a la trigonometría”, y está compuesta de los siguientes elementos de esa lengua: el sustantivo “trigonon”, que puede traducirse como “triángulo”; el nombre “metron”, que equivale a “medida”, y el sufijo “-ico”, que significa “relativo a”.

Trigonometría es el nombre de la rama de la matemática que se dedica a realizar cálculos vinculados a los elementos de un triángulo. Para esto trabaja con unidades como el grado sexagesimal (que se emplea al dividir una circunferencia en 360 grados sexagesimales), el grado centesimal (la división se realiza en 400 grados centesimales) y el radián (que se toma como la unidad natural de los ángulos y señala que la circunferencia es susceptible de división en 2 pi radianes).

Concepto de discriminante.

El discriminante eses la parte de la fórmula cuadrática bajo la raíz cuadrada.

• Un discriminante positivo indica que la cuadrática tiene dos soluciones reales distintas.
• Un discriminante de cero indica que la cuadrática tiene una solución real repetida.
• Un discriminante negativo indica que ninguna de las soluciones son números reales.

Reslución gráfica de incecuaciones.

 SISTEMAS DE INECUACIONES CON UNA INCÓGNITA

Un sistema de inecuaciones con una incógnita es un conjunto de inecuaciones del que se quiere obtener una solución común. Para hallar su solución, primero se resuelve cada una de las inecuaciones por separado, y después se toman las soluciones comunes. Como la solución de una inecuación es un intervalo, la solución de un sistema de inecuaciones viene dada por la intersección de los intervalos solución de cada intersección. Ejemplo: Resolver sistemas de inecuaciones con una incógnita Resuelve el sistema de inecuaciones 

2x + 3 > 7 

 x − 2 ≤ 6  

Pasos a seguir 1. Resolvemos cada inecuación por separado

 2x + 3 > 7        2x > 7 − 3       2x > 4x > 2       x− 2 ≤ 6       x ≤ 6 + 2      x ≤ 8 

2. Escribimos las soluciones de cada inecuación en forma de intervalo y las representamos. De la primera inecuación obtenemos: x > 2 → x ∈ (2, +∞) De la segunda inecuación obtenemos x ≤ 8 → x ∈ (−∞, 8]

SISTEMAS DE INECUACIONES CON DOS INCÓGNITAS

Una inecuación lineal de dos incógnitas es una desigualdad de uno de estos tipos: ax + by < c,             ax + by ≤ c,   ax + by > c,   ax + by ≥ c,  donde a, b y c son números y x e y son incógnitas. Las soluciones de estas inecuaciones se expresan en forma de regiones del plano delimitadas por una recta

Resuelve la inecuación con dos incógnitas x + 2y > 4. Consideramos la desigualdad como una igualdad y representamos la recta que se obtiene a partir de ella. 

• Si x = 0

 x + 2y = 4             

 0 + 2y = 4 

y = 2 (0,2) 

• Si y = 0 

x + 2y = 4 

x + 2 · 0 = 4 

x = 4 (4,0) 

La recta divide al plano en dos regiones, solo una de ellas es solución de la inecuación. Elegimos un punto de una región, el (0,0), y comprobamos si es solución. 

x + 2y > 4 0 + 2 · 0 ≯ 4 No es solución. 

Por tanto, la solución es la región contraria. Lo comprobamos tomando un punto de la otra región, el (3,3). 

0 + 2y > 4 3 + 2 · 3 > 4 Es solución. 

Como la desigualdad no contienen el signo =, la recta no forma parte de la solución. 

• Si el signo de la desigualdad es ≤ o ≥, los puntos de la recta cumplen la inecuación; por tanto, la recta también es parte de la solución.

 • Si el signo de la desigualdad es < o >, la recta no está incluida en la solución. Un sistema de inecuaciones lineales con dos incógnitas es un conjunto de inecuaciones lineales con dos incógnitas para el que se quiere encontrar una solución común.

 Una solución del sistema es todo par de valores que cumple todas las inecuaciones a la vez. 

Resolución gráfica de ecuaciones

 x = primer resultado y = segundo resultado

 2x + y = 1 

La relación entre los dos resultados se expresa con una ecuación lineal.anota en una tabla y, al representarlos como puntos en el plano, resulta una recta:

Comprueba que las soluciones son infinitas, y solo con esa información es imposible determinar los resultados de los ejercicios. Pero recuerda, además, que el segundo resultado era el doble que el primero. 

Ahora tiene dos condiciones, por lo que plantea un sistema: 

2x + y = 1 

y = 2x 

Repite el proceso para representar la recta de las nuevas soluciones:

De las infinitas soluciones que tiene cada una de las dos ecuaciones por separado, solo una vale para ambas a la vez: el punto de intersección. 

El par (1/4,1/2)muestra los resultados. Decimos que este par de números es la solución del sistema

Ecuaciones y creiterios de equivalencia

 Se denomina ecuación a una igualdad matemática entre dos expresiones algebraicas en las cuales aparecen valores conocidos y otros desconocidos. Por ejemplo: x + 7 = 32.

Criterio 1: Si se multiplican o dividen los dos miembros de una ecuación de un sistema por un número real distinto de cero, se obtiene otro sistema equivalente al inicial.

Criterio 2: Si a una ecuación de un sistema se le suma o resta otra ecuación del mismo, se obtiene otro sistema equivalente al inicial.

Criterio 3: (fusión de los anteriores): Si a una ecuación de un sistema se le suma o resta otra ecuación del mismo, multiplicada por un número real distinto de cero, se obtiene otro sistema equivalente al dado.

Criterio 4: Si en un sistema de ecuaciones lineales una ecuación es proporcional a otra o es combinación lineal de otras, se puede suprimir y el sistema obtenido es equivalente al inicial.

• Las ecuaciones proporcionales

• Las ecuaciones nulas

• Las ecuaciones que sean combinación lineal de otras.